「柯西-黎曼條件」是複變函數分析中的一組條件，用於確定某個複函數是否在某個區域內是可微分的。這些條件由法國數學家奧古斯丁-路易·柯西和德國數學家赫爾曼·黎曼所提出。若一個複函數在某個區域內滿足這些條件，則該函數在該區域內是全純的，即可微分且導數是連續的。這些條件通常表示為實部和虛部的偏導數之間的關係，具體為：如果一個複函數 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，那麼在點 (x, y) 附近，u 和 v 必須滿足以下條件：∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x。
這些條件是判斷複變函數是否可微的基本工具。它們涉及到複函數的實部和虛部之間的關係，通常應用於複數分析中。滿足這些條件的函數被稱為全純函數，這意味著它們在其定義的區域內是可微的。
例句 1：
為了確定函數 f(z) 是否全純，我們需要檢查柯西-黎曼條件。
To determine if the function f(z) is holomorphic, we need to check the Cauchy-Riemann conditions.
例句 2：
如果一個函數滿足柯西-黎曼條件，那麼它在該點是可微的。
If a function satisfies the Cauchy-Riemann conditions, then it is differentiable at that point.
例句 3：
在複變函數的學習中，柯西-黎曼條件是一個重要的概念。
In the study of complex functions, the Cauchy-Riemann conditions are an important concept.
這些方程式是柯西-黎曼條件的具體數學表達，通常用於計算複變函數的可微性。它們提供了實部和虛部之間的偏導數關係，這對於理解複變函數的性質至關重要。
例句 1：
柯西-黎曼方程式是分析複變函數的基礎。
The Cauchy-Riemann equations are fundamental in analyzing complex functions.
例句 2：
通過檢查柯西-黎曼方程式，我們可以確定函數的可微性。
By checking the Cauchy-Riemann equations, we can determine the differentiability of the function.
例句 3：
這些方程式在複變數微積分中扮演著關鍵角色。
These equations play a key role in complex variable calculus.
這些條件確保複變函數在某個區域內是解析的，這意味著它們可以在該區域內進行泰勒展開。這些條件對於理解複變函數的行為和性質非常重要。
例句 1：
滿足解析條件的函數在其定義的區域內是連續可微的。
Functions that satisfy the analytic conditions are continuously differentiable in their defined regions.
例句 2：
我們需要檢查這些解析條件來確保函數的良好性質。
We need to check these analytic conditions to ensure the good properties of the function.
例句 3：
這些條件幫助我們理解複變函數的解析性。
These conditions help us understand the analyticity of complex functions.