f'(x) 是數學中表示函數 f(x) 的導數，通常用來描述函數在某一點的變化率或斜率。導數提供了函數在某一特定點的瞬時變化情況，並且在微積分中扮演著重要的角色。
在微積分中，導數是用來描述一個函數的變化率或斜率的工具。它可以幫助我們理解函數的行為，特別是在特定點的變化情況。導數的計算通常涉及極限的概念，並且在應用數學、物理學和工程學中非常重要。
例句 1：
函數的導數可以告訴我們它的增長或減少的速度。
The derivative of a function can tell us how fast it is increasing or decreasing.
例句 2：
我們需要計算這個函數的導數以找出其極值。
We need to calculate the derivative of this function to find its extrema.
例句 3：
導數的概念在物理學中也常用於描述速度和加速度。
The concept of derivatives is also commonly used in physics to describe velocity and acceleration.
描述某個量隨時間或其他變量的變化速度。這個術語常用於各種科學和工程領域，幫助我們理解和量化變化的程度。
例句 1：
速度是一種位置隨時間變化的比率。
Speed is a rate of change of position over time.
例句 2：
這個模型可以用來預測人口增長的變化率。
This model can be used to predict the rate of change of population growth.
例句 3：
在經濟學中，通脹率是價格變化的速度。
In economics, the inflation rate is the rate of change of prices.
在幾何學中，斜率是描述直線傾斜程度的數字，通常是由兩點之間的垂直變化與水平變化的比率來計算。對於曲線來說，斜率可以通過導數來求得，表示函數在某一點的瞬時變化。
例句 1：
這條線的斜率告訴我們它的陡峭程度。
The slope of this line tells us how steep it is.
例句 2：
在這一點的斜率是函數的導數。
The slope at this point is the derivative of the function.
例句 3：
斜率為正表示函數在增加，斜率為負則表示函數在減少。
A positive slope indicates that the function is increasing, while a negative slope indicates that the function is decreasing.
在多變量微積分中，梯度是一個向量，表示函數在某一點的最大增長方向和速率。它在物理學、工程學和數學中都有重要應用。
例句 1：
梯度可以幫助我們找到函數的最小值或最大值。
The gradient can help us find the minimum or maximum of a function.
例句 2：
在機器學習中，梯度下降法是一種優化算法。
In machine learning, gradient descent is an optimization algorithm.
例句 3：
梯度的方向告訴我們函數在該點的增長方向。
The direction of the gradient tells us the direction of increase of the function at that point.