「虛數解」是數學中一個重要的概念，特別是在代數和複數理論中。虛數解通常出現在某些方程的解中，當方程的判別式小於零時，會得到虛數解。這意味著該方程的解不是實數，而是包含虛部的複數。虛數的形式通常表示為 a + bi，其中 a 是實數部分，b 是虛數部分，i 是虛數單位，滿足 i² = -1。虛數解在許多應用中都非常重要，包括工程學、物理學和信號處理等領域。
在數學中，特別是在代數中，複數解是指包含實部和虛部的解。當一個方程的解無法用實數表示時，這些解就會被稱為複數解。複數解的形式是 a + bi，其中 a 是實數部分，b 是虛數部分，i 是虛數單位。複數解在許多數學和工程問題中都非常重要，特別是在處理波動和振動的情況時。
例句 1：
這個方程的複數解是 3 + 4i。
The complex solution of this equation is 3 + 4i.
例句 2：
在電路分析中，複數解幫助我們理解交流電的行為。
In circuit analysis, complex solutions help us understand the behavior of alternating current.
例句 3：
我們在計算這個多項式的根時找到了複數解。
We found complex solutions when calculating the roots of this polynomial.
虛數解是指在解的過程中出現的虛數部分，通常是在解二次方程或更高次方程時遇到的情況。當判別式小於零時，會產生虛數解，這意味著該方程的根不在實數範圍內。虛數解在物理學和工程學中也常用於描述某些現象，例如振動和波動。
例句 1：
這個方程的虛數解顯示了系統的非穩定性。
The imaginary solution of this equation indicates the instability of the system.
例句 2：
虛數解在信號處理中是非常重要的。
Imaginary solutions are very important in signal processing.
例句 3：
當我們解這個方程時，發現了虛數解。
When we solved this equation, we found imaginary solutions.
複根是指多項式方程的根，這些根包含了虛數部分。當一個多項式的判別式小於零時，會出現複根。這些根在數學分析和應用數學中非常重要，特別是在研究方程的行為和解的性質時。
例句 1：
這個多項式的複根是 2 + 3i 和 2 - 3i。
The complex roots of this polynomial are 2 + 3i and 2 - 3i.
例句 2：
複根對於理解方程的行為至關重要。
Complex roots are crucial for understanding the behavior of the equation.
例句 3：
我們在計算這個方程的複根時遇到了一些挑戰。
We faced some challenges when calculating the complex roots of this equation.
虛根是指方程根部的虛數部分，通常在解二次方程時出現。當判別式小於零時，方程會有虛根。這些虛根在數學和物理學中有著重要的應用，尤其是在描述波動和振動的情況下。
例句 1：
這個二次方程的虛根是 1 + i 和 1 - i。
The imaginary roots of this quadratic equation are 1 + i and 1 - i.
例句 2：
虛根在工程設計中幫助我們預測系統的行為。
Imaginary roots help us predict the behavior of systems in engineering design.
例句 3：
在這個問題中，我們發現了虛根的存在。
In this problem, we discovered the existence of imaginary roots.