「複函數」是數學中一個重要的概念，特別是在複變函數論中。它指的是一種定義在複數域上的函數，這意味著它的輸入和輸出都是複數。複函數的性質和行為與實數函數有所不同，並且它們在數學分析、物理學和工程學等領域中有著廣泛的應用。
在數學中，複函數是指一個函數，其自變量和因變量都是複數。這類函數在數學分析中非常重要，尤其是在複變函數論的研究中。複函數的性質，如解析性、連續性和可微性，與實數函數有顯著的不同。複函數的應用包括電磁學、流體力學和信號處理等領域。
例句 1：
這個複函數在整個複平面上都是解析的。
This complex function is analytic throughout the complex plane.
例句 2：
我們需要探討這個複函數的極限行為。
We need to explore the limit behavior of this complex function.
例句 3：
複函數的圖形可以在三維空間中表示。
The graph of a complex function can be represented in three-dimensional space.
這個術語用來強調函數的自變量是複數。複變數函數的研究涉及到許多重要的數學理論，包括柯西-黎曼條件、留數定理等。這些理論在數學和物理中都有廣泛的應用，尤其是在解決涉及複數的問題時。
例句 1：
複變數函數的導數定義與實變數函數的導數有所不同。
The derivative of a complex variable function is defined differently from that of a real variable function.
例句 2：
學習複變數函數的性質對於理解電磁學中的波動非常重要。
Understanding the properties of complex variable functions is crucial for grasping wave phenomena in electromagnetism.
例句 3：
這個課程將介紹複變數函數的基本概念。
This course will introduce the basic concepts of complex variable functions.
在複變函數論中，解析函數是指在某個區域內可以用泰勒級數展開的複函數。這類函數在數學上有著重要的性質，例如在其定義域內是可微的。解析函數的研究對於理解複變數的行為至關重要，並且在物理學中也有許多應用。
例句 1：
所有的解析函數都是複函數，但並非所有的複函數都是解析的。
All analytic functions are complex functions, but not all complex functions are analytic.
例句 2：
這個問題涉及到解析函數的性質。
This problem involves the properties of analytic functions.
例句 3：
在某些情況下，解析函數的性質可以用來解決物理問題。
In some cases, the properties of analytic functions can be used to solve physical problems.