「定理」是數學或邏輯中一個重要的概念，通常指的是在某個理論體系中，基於已知的公理和已證明的定理，通過邏輯推理得出的結論。定理通常需要證明，並且在數學中具有重要的應用和意義。它們是數學知識的基石，幫助我們理解更複雜的概念和理論。
通常指一個需要證明的數學陳述，但其重要性和複雜性通常低於定理。命題可以是定理的前提或組成部分，並且通常用於描述一個較小的或較簡單的數學事實。命題的證明可能不如定理那樣複雜，且在數學證明中常常起到輔助的作用。
例句 1：
這個命題可以用來證明主要定理。
This proposition can be used to prove the main theorem.
例句 2：
我們需要先證明這個命題，然後才能進一步討論。
We need to prove this proposition first before we can discuss further.
例句 3：
這個命題的證明相對簡單。
The proof of this proposition is relatively simple.
在數學中，通常是指一個輔助性質的定理，主要用於幫助證明更大的定理。引理的證明通常相對簡單，並且它的結果被用作其他更重要結果的基礎。這意味著引理本身可能不會引起太多注意，但它在數學證明過程中扮演著重要角色。
例句 1：
這個引理對於證明主定理至關重要。
This lemma is crucial for proving the main theorem.
例句 2：
在這篇論文中，作者提出了一個新的引理。
In this paper, the author presents a new lemma.
例句 3：
我們需要先確立這個引理，才能進行下一步的證明。
We need to establish this lemma before proceeding to the next proof.
通常是指基於已證明的定理而直接得出的結論，通常被視為該定理的一個附加結果。推論通常是定理的自然延伸，並且其證明通常是簡單的，因為它依賴於已經證明的內容。推論在數學中用於強調某個定理的應用或結果。
例句 1：
這個推論是基於之前的定理得出的。
This corollary is derived from the previous theorem.
例句 2：
我們可以從這個定理中推導出幾個有趣的推論。
We can derive several interesting corollaries from this theorem.
例句 3：
這個推論的證明非常直觀。
The proof of this corollary is very intuitive.
在數學和邏輯中，通常是指不需要證明而被接受為真實的基本原則或假設。公理是建構數學體系的基礎，所有其他的定理和命題都是基於這些公理進行推導的。公理的選擇對於整個理論的發展至關重要，因為它們定義了理論的基本框架。
例句 1：
所有定理都建立在這些公理之上。
All theorems are built upon these axioms.
例句 2：
這些公理是數學的基礎。
These axioms are the foundation of mathematics.
例句 3：
在這個系統中，公理的選擇非常重要。
In this system, the choice of axioms is very important.