「公理系統」是指由一組基本的公理（或假設）所構成的系統，這些公理是被認為是無需證明的真理，並且用來推導出其他命題或定理。在數學、邏輯和科學等領域中，公理系統是建立理論的基礎。公理系統的特點是其公理必須是自明的、不可證明的，並且能夠通過邏輯推理產生出其他命題。常見的例子包括歐幾里得幾何的公理系統和集合論的公理系統。
這是指一個建立在公理基礎上的系統，其中所有的定理和命題都是從這些公理推導出來的。這種系統通常用於數學和邏輯領域，以確保推理的嚴謹性和一致性。
例句 1：
數學的許多分支都依賴於公理系統來建立理論。
Many branches of mathematics rely on an axiomatic system to establish theories.
例句 2：
這個公理系統的完整性對於數學證明至關重要。
The completeness of this axiomatic system is crucial for mathematical proofs.
例句 3：
科學理論的建立也可以視為一種公理系統的應用。
The establishment of scientific theories can also be seen as an application of an axiomatic system.
這是構成公理系統的基本命題或假設，這些命題被認為是自明的，不需要進一步的證明。它們是推理的基礎，並且為其他命題的證明提供了出發點。
例句 1：
在這個數學模型中，所有的定理都是基於幾個基本的公理。
In this mathematical model, all theorems are based on a few fundamental axioms.
例句 2：
這些公理的選擇對於系統的穩定性至關重要。
The choice of these axioms is crucial for the stability of the system.
例句 3：
在邏輯推理中，公理的明確性可以避免誤解。
Clarity of axioms in logical reasoning can prevent misunderstandings.
這是一種用於組織和結構化思考的系統，通常包括公理、定義和推理規則。它幫助理清思路並提供一個一致的基礎來進行推理。
例句 1：
這個邏輯框架幫助我們清晰地理解問題。
This logical framework helps us clearly understand the problem.
例句 2：
在設計新的理論時，建立一個堅實的邏輯框架是必要的。
Establishing a solid logical framework is essential when designing new theories.
例句 3：
許多科學研究都依賴於一個良好的邏輯框架來支持其結論。
Many scientific studies rely on a good logical framework to support their conclusions.
這是指一個為其他理論或系統提供基礎的系統，通常包括一組基本的原則或假設。這種系統的穩固性對於後續的推理和發展至關重要。
例句 1：
這個基礎系統為整個數學理論提供了支持。
This foundational system provides support for the entire mathematical theory.
例句 2：
在創建新理論時，必須首先確定基礎系統。
When creating a new theory, it is essential to first establish the foundational system.
例句 3：
科學的進步往往依賴於穩固的基礎系統。
The advancement of science often relies on a solid foundational system.