「柯西序列」是一個數學概念，特別是在實分析和拓撲學中使用。柯西序列是一個數列，其特性是隨著序列的進展，序列中任意兩個項之間的距離可以變得任意小。這意味著，對於任何正數 ε，存在一個整數 N，使得對於所有的 m, n ≥ N，序列中的項 a_m 和 a_n 之間的距離 |a_m - a_n| 小於 ε。這種性質使得柯西序列在完備空間中是非常重要的，因為在完備空間中，柯西序列必定收斂到某個極限。
這是對柯西序列的直接翻譯，通常用於數學分析中，特別是在討論序列的收斂性時。它的定義強調了序列中項之間的距離隨著序列的進展而變小的特性。
例句 1：
在實數系統中，所有的柯西序列都是收斂的。
In the real number system, all Cauchy sequences are convergent.
例句 2：
柯西序列的概念對於理解數學分析是非常重要的。
The concept of Cauchy sequences is very important for understanding mathematical analysis.
例句 3：
我們可以用柯西序列來證明某些數列的極限存在。
We can use Cauchy sequences to prove the existence of limits for certain sequences.
這是指一個數列的項隨著序列的進展而趨近於某個特定值。柯西序列是一個特殊類型的收斂序列，因為它的項在某個點附近變得任意接近。
例句 1：
這個收斂序列的極限是 5。
The limit of this convergent sequence is 5.
例句 2：
所有的柯西序列都是收斂序列，但不是所有的收斂序列都是柯西序列。
All Cauchy sequences are convergent sequences, but not all convergent sequences are Cauchy sequences.
例句 3：
我們可以通過檢查序列的收斂性來了解其行為。
We can understand the behavior of the sequence by examining its convergence.
這個術語通常用於描述一個序列的極限或收斂行為，強調序列在無窮遠處的趨勢。柯西序列是一種特定的極限序列。
例句 1：
這個極限序列的行為告訴我們它的長期趨勢。
The behavior of this limit sequence tells us about its long-term trend.
例句 2：
在數學中，研究極限序列有助於理解函數的性質。
In mathematics, studying limit sequences helps in understanding the properties of functions.
例句 3：
我們可以使用極限序列來研究其收斂性。
We can use limit sequences to study their convergence.