「歐拉定理」是數學中一個重要的定理，通常指的是在圖論和數學分析中的幾個不同的結果。最著名的歐拉定理之一是關於平面圖的定理，該定理指出：在一個連通的平面圖中，如果每個頂點的度數都是偶數，那麼圖中存在一條通過每條邊一次且僅一次的閉合路徑，稱為歐拉迴路。另一個著名的歐拉定理是關於複數的公式，即 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，這是數學分析中的一個重要結果，將指數函數與三角函數聯繫起來。
在數論中，這個定理描述了某些整數的性質，特別是在模運算中的應用。它指出，如果 a 和 n 是互質的整數，則 a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中 φ(n) 是歐拉函數，表示小於 n 且與 n 互質的正整數的數量。這個定理在密碼學中有重要的應用，特別是在 RSA 加密演算法中。
例句 1：
根據歐拉定理，這些數字的性質在模運算中是非常重要的。
According to Euler's theorem, the properties of these numbers are crucial in modular arithmetic.
例句 2：
在學習密碼學時，我們需要理解歐拉定理的應用。
When studying cryptography, we need to understand the applications of Euler's theorem.
例句 3：
這個定理幫助我們解決了許多數論中的問題。
This theorem helps us solve many problems in number theory.
這是一個在數學分析和工程中非常重要的公式，表達了複數的指數形式。它的形式是 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，將指數函數與三角函數聯繫起來，這在信號處理和振動分析中有廣泛應用。
例句 1：
歐拉公式在工程學中用來分析振動。
Euler's formula is used in engineering to analyze vibrations.
例句 2：
這個公式在數學中有著深遠的影響。
This formula has profound implications in mathematics.
例句 3：
學習複數時，歐拉公式是必須理解的關鍵。
When learning about complex numbers, Euler's formula is a key concept to understand.
這是歐拉公式的一個特例，表達為 e^(iπ) + 1 = 0，這個等式被認為是數學中最美麗的公式之一，因為它將五個基本數學常數（e、i、π、1 和 0）聯繫在一起。
例句 1：
歐拉恆等式被認為是數學中的一個美麗結果。
Euler's identity is considered a beautiful result in mathematics.
例句 2：
這個等式展示了數學中不同概念之間的深刻聯繫。
This identity showcases the profound connections between different concepts in mathematics.
例句 3：
在數學界，歐拉恆等式經常被引用作為數學之美的例證。
In the mathematical community, Euler's identity is often cited as an example of the beauty of mathematics.