留數定理是複變函數中的一個重要定理，主要用於計算複數積分。這個定理表明，如果一個解析函數在某個區域內除了有限個孤立的奇點外都是解析的，那麼這些奇點的留數之和可以用來計算沿著某條閉合路徑的積分。留數定理的關鍵在於它將複數積分轉化為簡單的代數運算，這使得計算複數積分變得更加容易。
留數定理的另一種稱呼，強調了留數在計算中的重要性。在複變函數的分析中，留數是指在某個孤立奇點處的函數的特徵，這些特徵在積分計算中起著關鍵作用。這個定理使得計算複數積分變得可行，尤其是在面對具有多個奇點的情況下，留數定理提供了一個系統的方法來獲得最終的積分結果。
例句 1：
根據留數定理，我們可以計算這個閉合路徑上的積分。
According to the Residue Theorem, we can calculate the integral over this closed path.
例句 2：
留數定理在物理學中也有廣泛的應用。
The Residue Theorem has wide applications in physics as well.
例句 3：
他用留數定理成功地解決了這個複雜的積分問題。
He successfully solved this complex integral problem using the Residue Theorem.
這個術語強調了留數定理在複數積分中的應用。它指出，對於某些特定的複數函數，積分的結果可以通過計算留數來獲得。這一理論在數學和工程領域中都非常重要，特別是在信號處理和控制系統中。
例句 1：
複數積分定理提供了一種強大的方法來解決複數函數的積分。
The Complex Integral Theorem provides a powerful method for solving integrals of complex functions.
例句 2：
在這個問題中，我們需要應用複數積分定理來獲得解答。
In this problem, we need to apply the Complex Integral Theorem to obtain the solution.
例句 3：
這位數學家專注於複數積分定理的進一步研究。
This mathematician focuses on further studies of the Complex Integral Theorem.
這個術語通常與留數定理一起使用，特別是在研究函數的延拓性質時。雖然留數定理主要用於積分計算，但解析延續定理則涉及將一個函數擴展到其定義域外的情況。這兩者在複變函數的研究中是密切相關的。
例句 1：
解析延續定理在留數計算中起著輔助作用。
The Analytic Continuation Theorem plays a supportive role in residue calculations.
例句 2：
他們的研究涉及解析延續定理和留數定理的關聯。
Their research involves the relationship between the Analytic Continuation Theorem and the Residue Theorem.
例句 3：
解析延續定理有助於理解複數函數的行為。
The Analytic Continuation Theorem helps in understanding the behavior of complex functions.
這個術語強調了在特定路徑上進行積分的過程，這些路徑通常是封閉的。留數定理是計算這些路徑上積分的關鍵工具，特別是在處理具有多個奇點的情況下。這一理論在數學和物理中都有重要應用。
例句 1：
我們使用輪廓積分定理來解決這個問題。
We use the Contour Integral Theorem to solve this problem.
例句 2：
輪廓積分定理為我們提供了計算複數積分的有效方法。
The Contour Integral Theorem provides us with an effective way to calculate complex integrals.
例句 3：
在數學分析課上，我們學習了輪廓積分定理的應用。
In mathematics analysis class, we learned about the applications of the Contour Integral Theorem.